اين معادله «انتگرال نوع دوم بيضوي کامل » است در اين بررسي ، معادلات براي ميله اي که در يک انتها گيردار و در انتهاي ديگر آزاد است نوشته شده و نتايج حاصل را مي توان براي ميله دو سر  مفصل به کار برد. در شکل ٣ در سمت راست منحني هاي تغيير شکل يافته براي ميله يک سر آزاد يک سر گيردار و در سمت چپ براي حالت دو سر مفصل نشان داده شده است . همان طور که مشاهده مي کنيد طول ميله دو سر مفصل دو برابر طول ميله يک سر گيردار يک سر آزاد است .[١٦]

 تعريف کلي سختي

نيروي لازم براي ايجاد تغيير طول واحد سختي ناميده مي شود در فرمول بالا داشتن P مي توان مقدار P.Pcr را به دست آورد و سپس مقدار انتگرال نوع اول بيضوي کامل را محاسبه کرد آنگاه مقداري براي  p به دست مي آوريم که حاصل انتگرال را برابر با مقدار به دست آمده کند حال با داشتن p مي توان مقدار  xa را محاسبه نمود و با قرار دادن مقادير P و xa در فرمول تعريف سختي ، مقدار سختي عضو را براي مقادير گسسته بار محاسبه مي کنيم .

سختي به دست آمده از اين روش ، سختي در راستاي محور عضو بوده و بايد آن را به ماتريس سختي در مختصات کلي سازه تبديل کرد اين کار با ضرب ماتريسي که با توجه به مختصات گره هاي ابتدا و انتهاي عضو به دست مي آيد ميسر است .

با توجه به شکل و مانند تحليل ماتريسي خرپا ها، ماتريس انتقال عضو به دست مي آيد. با ضرب ماتريس انتقال در سختي محوري ، ماتريس سختي عضو در مختصات کلي به دست مي آيد.

مي توان مقادير زير را براي  l،n،m   محاسبه نمود:

و مانند تحليل ماتريسي خرپا ها، ماتريس انتقال عضو به دست مي آيد. با ضرب ماتريس انتقال در سختي محوري ماتريس سختي عضو در مختصات کلي به دست مي آيد.

با قرار دادن آرايه هاي ماتريس سختي عضو با توجه به درجات آزادي گره هاي ابتدايي و انتهايي عضو در ماتريس سختي کل ، ماتريس سختي کل سازه را به دست مي آوريم .[١٧]

مثال عددي

براي نشان دادن عملکرد و توانايي اين روش يک خرپاي گنبدي مانند شکل ٥به عنوان مثال حل شده است . اين خرپا توسط رامش و کريشنا مورتي ارائه شده است .[١٨]