حل معادله تشابه ديناميکي

براي حل معادله ٣ مي توان با ضرب طرفين تساوي در dθ شروع کرده و سپس انتگرال گيري کنيم

در رابطه فوق مقدار مي باشد اين رابطه را مي توان به شکل زير نشان داد:

با انتگرال گيري خواهيم داشت :

که در آن cثابت انتگرال گيري مي باشد و از شرايط حدي انتهاي فوقاني ميله تعيين مي شود . در انتهاي فوقاني داريم :

از اين شرايط خواهيم داشت :

و بنابر اين :

يا :

 چون  هميشه منفي است همان طوري که از شکل ديده مي شود علامت مثبت از اين معادله حذف خواهد شد. با حل آن براي dsداريم :

و طول کل ميله پس از جابجا کردن حدود انتگرال گيري برابر است با:

اين انتگرال را ميتوان با علامت گذاري و معرفي يک متغيير جديد ∅به ترتيبي که داشته باشيم :

ساده نمود از اين روابط در مي يابيم که θاز ٠ تا αو مقدار  ∅sin نيز از ٠ تا ١ تغيير مي کند. بنابر اين ∅از تغيير ميکند. با ديفرانسيل گيري از معادله ١٣ به دست مي آوريم که :

با قرار دادن عبارت فوق در رابطه ١١ و توجه به اين که :

به دست مي آوريم :

اين معادله « انتگرال نوع اول بيضوي کامل » ناميده مي شود. در محاسبه تغيير مکان ميله توجه مي کنيم کهپس تغيير مکان کلي انتهاي فوقاني ميله در جهت افقي برابر است با:

با قرار دادن معادله ١٧ در اين رابطه داريم :

و سپس :

با قرار دادن عبارت ١٤ و ١٥ و ٢٠ در معادله ١٨ و عوض کردن جاي حدود انتگرال گيري خواهيم داشت :

بنابر اين محاسبه تغيير مکان ميله را مي توان با انتخاب يک مقدار براي p شروع کرده و سپس kو بنابر اين  Pرا از معادله ١٦ تعيين مي نماييم و سر انجام از معادله ٢١ مقدار   ya  را به دست آوريم  نتايج عددي که به اين ترتيب به ازاي مقادير مختلف αيا همان Pبه دست مي آيد ، را مي توان رابطه بين تغيير مکان ya  و بار Pتوصيف کرد .اين نمودار در شکل نشان داده شده است

فاصله xa در شکل را مي توان به روش مشابه محاسبه نمود