در این مدل پارامترهاي زیر وجود دارند. : B تعداد جعبه ها – : C تعداد کانتینر کشتی ها – li، wi و : hi طـول، عـرض و ارتفـاع جعبـه i ام – Lj، Wj و : Hj طول، عرض و ارتفاع کانتینر j ام.

متغیرهاي این مدل نیز در زیر آمده اند. xi، yi و : zi متغیرهایی که نشان دهنده محل جعبه i ام در کانتینر کشتی به صورت سـه بعـدي هسـتند(نقطه مختصات در گوشه مربوط به چپ، عقب و پائین قرار دارد) – lix ، liy  و : liz متغیرهاي صفر و یک، اگر طول جعبه i ام موازي محورهـايX، Y و Z باشد، مقدار این متغیر ها برابر با یک است، وگرنه این متغیرها مقدار صفر می گیرند – wix ، wiy و : wiz متغیرهاي صفر و یک، کهنشان دهنده موازي بودن عرض جعبه i ام با محورهاي X، Y و Z می باشند – hix ، hiy و : hiz متغیرهاي صفر و یک، که نشان دهنده مـوازي بودن ارتفاع جعبه i ام با محورهاي X، Y و Z می باشند – : leik متغیر صفر و یک، که نشان دهنده قرار گرفتن جعبه i ام در سمت چـپ جعبـه k ام است

– : riik متغیر صفر و یک، که نشان دهنده قرار گرفتن جعبه i ام در سمت راست جعبه k ام اسـت – : beik متغیـر صـفر و یـک، کـه نشاندهنده قرار گرفتن جعبه i ام در پشت سر جعبه k ام است – : fiik متغیر صفر و یک، که نشان دهنده قرار گرفتن جعبه i ام در جلوي جعبـه k ام است – : abik متغیر صفر و یک، که نشان دهنده قرار گرفتن جعبه i ام در بالاي جعبه k ام است – : unik متغیر صـفر و یـک، کـه نشـان-دهنده قرار گرفتن جعبه i ام در زیر جعبه k ام است –  : pij متغیر صفر و یک، که نشان دهنده قرار گرفتن جعبه i ام در کـانتینر j ام اسـت -: cj متغیر صفر و یک، که نشان دهنده استفاده شدن کانتینر j ام است – :

M عددي بسیار بزرگ که در محدودیت هاي M بزرگ بکار می رود. متغیرهاي leik، riik، beik، frik، abik و unik تنها هنگامی تعریف می شوند که i کوچکتر از k باشد. طول L کـانتینر کشـتی در محـور X،عرض W آن در محور Y و ارتفاع H آن در محور Z قرار گرفته است. معادله ۱ تابع هدف مسئله و یا کمینه سازي مقدار فضاي اتلاف شده را بیانمی کند. معادلات ۲ تا ۱۵ به عنوان محدودیت هاي مدل معرفی می شوند. الگوریتم ژنتیک ابتکاري محدودیت هاي ۲ تا ۷ نشان می دهند که جعبه هاي قرار گرفتـه نبایـد فضاي مشترك با همدیگر داشته باشند (فرض .(۳ محدودیت ۸ بر این نکته تمرکز دارد که تنها یکی از متغیر هاي leik، riik، beik، frik، abik و unik بایستی یک باشند. محدودیت ۹ تضمین می کند که هر جعبه تنها در یک کانتینر قرار گیرد. محدودیت ۱۰ مشخص می کند که به محضتخصیص حداقل یک جعبه به کانتینر کشتی، آن کانتینر مورد استفاده قرار می گیرد. محدودیت هاي ۱۱ تا ۱۳ نشان می دهند که همه جعبه هاي چیده شده در یک کانتینر کشتی داخل فضاي فیزیکی آن کانتینر قرار می گیرند و امکان ندارد کـه بخشـی از جعبـه هـا از کـانتینر بیـرون بزننـد.محدودیت هاي ۱۴ و ۱۵ محدوده قابل قبول براي متغیرها را بیان می کنند.

 

مثال هاي عددي

در این مقاله ۹ مثال عددي با تعداد ۱۰۰، ۲۵۰، ۵۰۰، ۷۵۰، ۱۰۰۰، ۱۲۵۰، ۱۵۰۰، ۱۷۵۰ و ۲۰۰۰ جعبه در نظر گرفته شده است. در تمامی ایـن مثال ها که در مقاله Thapatsuwan و همکاران [۱] مطرح شدند، طول جعبه ها به صورت تصادفی در بازه ۷۰ تا ۱۰۰ سانتی متر، عرض جعبههابه صورت تصادفی در بازه ۵۰ تا ۸۰ سانتی متر و ارتفاع جعبه ها نیز به صورت تصادفی در بازه ۳۰ تا ۶۰ سـانتی متـر انتخـاب مـی شـوند. در ایـن مثالها از کانتینر هاي استاندارد استفاده شد. هر کانتینر استاندارد در کشتی داراي ۲۰ فوت ۶) متر و ۱۰ سانتی متر) طول، ۸ فـوت ۲) متـر و ۴۴سانتی متر) عرض و ۸ فوت ارتفاع است. بعد از اینکه در هر مثال از ۹ مثال مذکور با B جعبه، طول، عرض و ارتفاع جعبه ها مشخص گردیـد، ایـنمثال ها با الگوریتم ژنتیک ابتکاري حل شد و نتایج آنها بـا روش هـاي بهینـه سـازي ازدحـام ذرات (PSO)، سیسـتم ایمنـی مصـنوعی (AIS) و الگوریتم ژنتیک ساده در مقاله Thapatsuwan و همکاران [۱] مقایسه گردید. ذکر این نکته ضروري است که الگوریتم پیشنهادي بـه ایـن اعـدادمحدود نمی شود و این روش قادر است مسئله MCP را با هر اندازه اي از جعبه ها و هر اندازه اي از کانتینر ها حل نماید.